Метод контурных токов

Научимся заменять множество токов ветвей небольшим числом контурных токов и составлять компактную систему уравнений.

Глубина объяснения

01 / Идея метода

Один ток для каждого независимого контура

Вместо поиска тока в каждой ветви назначим воображаемые контурные токи. Для плоской схемы их число равно числу независимых контуров.

Главная идея

В общей ветви реальный ток равен алгебраической разности контурных токов: $I_3=I_1-I_2$ .

02 / Расчётная схема

Рассмотрим двухконтурную цепь

Направим оба контурных тока по часовой стрелке. Направление можно выбрать произвольно: отрицательный результат покажет, что настоящий ток течёт противоположно.

I₁ — левый контур I₂ — правый контур

E₁24 V

E₂12 V

R₁4 Ω

R₂6 Ω

R₃2 Ω

03 / Система уравнений

Запишем второй закон Кирхгофа

Собственное сопротивление контура умножаем на его ток. Произведение общего сопротивления на соседний ток записываем со знаком минус.

\begin{cases}(R_1+R_3)I_1-R_3I_2=E_1\\-R_3I_1+(R_2+R_3)I_2=E_2\end{cases}

Подставим значения

\begin{cases}6I_1-2I_2=24\\-2I_1+8I_2=12\end{cases}

04 / Решение примера

Найдём контурные токи

Умножим первое уравнение на 4 и сложим со вторым. Так переменная I₂ исключается:

\begin{aligned}24I_1-8I_2&=96\\-2I_1+8I_2&=12\\ \hline 22I_1&=108\end{aligned}

I_1=\frac{108}{22}=\frac{54}{11}\approx4.91\ \mathrm A

Подставим I₁ во второе уравнение:

I_2=\frac{12+2I_1}{8}=\frac{30}{11}\approx2.73\ \mathrm A

Ток в общей ветви

I_3=I_1-I_2=\frac{24}{11}\approx2.18\ \mathrm A

05 / Проверка

Проверим баланс мощности

P_R=I_1^2R_1+I_2^2R_2+(I_1-I_2)^2R_3

P_R\approx150.55\ \mathrm W,\qquad P_E=E_1I_1+E_2I_2\approx150.55\ \mathrm W

Баланс выполнен — расчёт верен.

ПРОВЕРКА ЗНАНИЙ

Проверьте ток общей ветви

По результатам примера найдите I₃ = I₁ − I₂ и введите значение в амперах.

Продолжайте обучениеТемы и практические лаборатории